quinta-feira, 16 de fevereiro de 2017

 
  ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO SÃO RAFAEL
DISCIPLINA: Matemática
TURMA: 3° Ano Ensino Médio Diurno
PROFESSORA: Elisete Salvador Otobelli
2017

MATERIAL POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVO NA APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA ANALÍTICA


GEOMETRIA ANALÍTICA  

                Foi através do filósofo e matemático francês René Descartes, cujo nome em latim é Renatus Cartesius, que surgiu a Geometria Analítica. Fixando as bases de seu trabalho em dois eixos fixos, que se interceptam em um ponto, Descartes escreveu uma obra chamada La Géometrie, na qual introduz a noção de coordenadas.
A Geometria Analítica é a base de grandes campos de estudos matemáticos em dias atuais, mas também é muito utilizada em atividades não explicitamente matemáticas. Ela guia os nossos passos a cada instante das nossas vidas. Em momentos ela é útil aos profissionais da matemática, da física, da engenharia, etc. Em outros ela favorece aqueles que utilizam a matemática ou outras ciências inconscientemente, os leigos dos aspectos técnicos, porém essenciais ao funcionamento do mundo. No dia-a-dia, algumas atividades requerem seu uso mais intenso, outras menos, mas frequentemente a usamos, ainda que sem perceber.
A utilização do método cartesiano contribuiu decisivamente para o progresso das ciências. As representações cartesianas de fenômenos como a variação da temperatura de um doente, a oscilação dos valores das ações na Bolsa, ou ainda como trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo e no moderno Sistema de Posicionamento Global, GPS que, por sua vez, utilizam coordenadas fornecidas por satélites, assim como os veículos terrestres contam com GPS para o traçado de rotas e cálculo de distância, os aviões e embarcações situam-se em suas rotas através de aparelhos de GPS.



                            
Sendo assim, podemos utilizar o sistema de coordenadas para nos localizar, localizar pessoas ou imóveis, tendo por referência um ponto de origem (no qual estamos no momento), os eixos (ruas, avenidas, etc) e um ponto de chegada (local no qual queremos chegar). Saber se deslocar num determinado espaço, mesmo que ele ainda lhe seja desconhecido, nos permite conhecer novos mundos, novos campos de conhecimentos, de conquistas, de descobertas.
A figura abaixo ilustra pontos de uma cidade, aonde podemos identificar, por exemplo: Igreja (D,9) e Cinema (K,5).

A Geometria Analítica, também é muito usada para construir jogos. É o principio da computação gráfica onde projeta simulações para áreas de Engenharia. Também relacionada à aerodinâmica de um carro, a geração de energia elétrica, até em um simples jogo de batalha naval, você visualiza a aplicabilidade do plano cartesiano.



A Geometria Analítica revolucionou as nossas vidas, tornando-as mais práticas, convenientes e esclarecidas. Esta noção evolui para o que hoje conhecemos como PLANO CARTESIANO.
 “A cada ponto, uma localização; a cada localização, um mundo que se revela”.

  1. Plano Cartesiano

O Plano Cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas (x) e o vertical de eixo das ordenadas (y). O Plano Cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir.

Cada ponto do Plano Cartesiano é formado por um par ordenando (x,y), onde x é a abscissa e y é a ordenada. O encontro dos eixos é chamado de Origem e é representado pelo par ordenado (0,0).

PLANO CARTESIANO

Por exemplo, para localizar o ponto A (2,3), vá até o 2 na horizontal (eixo das abscissas) e suba até o 3 na vertical (eixo das ordenadas).

            Dados os pontos A (2,3), B (3,4), C (2,-2), D (-1,2), E (-4,-3), F (2,-4), G (3,0) e H (0,4) represente-os. Para cada um dos pontos, identifique qual o quadrante que o mesmo se encontra.



A (2,3)  _________________________
B (3,4)  _________________________
C (2,-2) _________________________
D (-1,2) _________________________
            E (-4,-3) ________________________
            F (2,-4)  ________________________
            G (3,0)  _________________________
            H (0,4)  _________________________



Ø     Se P é um ponto no plano e pertence ao eixo das abscissas, suas coordenadas são (a,0). Na sua “prancha” marque dois exemplos de P e em seguida escreva-os abaixo.
_________________________
_________________________

Ø     Se P é um ponto no plano e pertence ao eixo das ordenadas, suas coordenadas são (0,b). Na sua “prancha” marque dois exemplos de P e em seguida escreva-os abaixo.
_________________________
_________________________

Com base no que você estudou até agora, resolva as atividades propostas abaixo.

1.         Com tanta gente no mundo, tecnologia cada vez mais avançada e o planeta sendo decifrado por cientistas de plantão, diversos mistérios e perguntas não respondidas ainda surgem semanalmente ao redor do globo. Quanto mais se descobre sobre o passado da Terra, mais questões e incógnitas surgem pelo caminho. Um dos mistérios mais explorados tem relação direta com a fama dos tesouros perdidos ou roubados ao longo dos séculos. Onde é que está boa parte das riquezas da antiguidade? Uma coisa é certa: em tempos de incerteza, quer se trate de uma revolução ou de uma guerra, o lugar mais seguro para guardar algo de valor era em uma colina bem alta ou embaixo da terra. O mapa abaixo mostra a localização de um tesouro. Através do plano cartesiano se torna mais fácil a localização do mesmo. Quais são as coordenadas do ponto que indicam onde está escondido o tesouro? E em qual quadrante ele se encontra?




2.      Analise a figura abaixo e responda:






  

a)      A pata tem três filhos, Pete, Piti e Poto. Qual o ponto em que se encontra a Pete?

b)      Tem um morcego voando no museu, informe a coordenada em que o morcego está.

c)      Quantas crianças brincam no terceiro quadrante?

d)      O macaco esta localizado em que quadrante? Quais suas coordenadas?

O plano cartesiano pode ser utilizado como base para uma construção de sistema de GPS. A partir de pontos relacionando à latitude e longitude é possível, por exemplo, encontrar um navio em alto mar, assim como regiões em um mapa. Pensando nisso, analise a mapa abaixo e responda as questões 3, 4 e 5.





 3.      Quais dos estados do mapa estão sendo marcados com um ponto no plano?

a)      AC, PI, DF, RS
b)      AC, PI, RS, AP
c)      AM, AC, PI, RS
d)      RS, PI, MG, AM
e)      SC, BA, RS, AM

4.      Determine as coordenadas dos pontos em destaque:


5.      Relacione os estados com os seus respectivos quadrantes:


6.         A base do jogo batalha naval é constituído a partir do plano cartesiano e a escolha de peças é feita utilizando os pares ordenados, sendo assim quais os pares ordenados formam a maior navegação existente no desenho abaixo?


a)      (A, 5), (B, 4), (C, 3), (D, 2), (E,1)
b)      (A, 4), (B, 4), (C, 4), (D, 4), (E,4)
c)      (A, 5), (B, 5), (C, 5), (D, 5), (E,5)
d)      (A, 3), (B, 3), (C, 3), (D, 3), (E,3)
e)      (F, 6), (F, 7),  (F, 8), (F, 9),  (F,10)






  
7.      Analise a figura abaixo e localize as coordenadas que estão indicando a cidade do Estado:



a)    do Acre
b)   do Mato Grosso do Sul
c)    do Rio Grande do Norte
d)   de Minas Gerais
e)    do Amazonas
f)    do Espirito Santo
g)    de Roraima
h)   do Rio Grande do Sul
i)     do Pará
j)     de Mato Grosso
k)   de Pernambuco
l)     de São Paulo




8. No plano cartesiano da figura, considere que as escalas nos dois eixos coordenados são iguais e que a unidade de medida linear é 1 cm. Nele, está
representada parte de uma linha poligonal que começa no ponto P(0, 3) e, mantendo-se o mesmo padrão, termina em um ponto Q.


Na figura, a linha poligonal é formada por segmentos de reta que são paralelos aos eixos coordenados e cujas extremidades têm coordenadas inteiras não negativas. Sabendo que o comprimento da linha poligonal, do ponto P até o ponto Q, é igual a 94 cm, as coordenadas do ponto Q são:

a)        (25,2)
b)        (28,1)
c)        (32,1)
d)        (33,1)
e)        (34,2)
f)          

9.      Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas:

a)      (65,35)
b)      (53,30)
c)      (45,35)
d)      (50,20)
e)      (50,30)

segunda-feira, 13 de fevereiro de 2017


domingo, 12 de fevereiro de 2017

Contato com a professora Elisete: profeeli7@gmail.com


Rally científico UCShttps://www.ucs.br/site/rally-cientifico-2016


GP do Conhecimentohttp://www.ideau.com.br/caxias/gpconhecimento/

Enem 2017http://enem.inep.gov.br/

Para mais informações sobre bolsas e provas anteriores:
http://www.enem2017.pro.br/enem-2017-inscricoes/?gclid=CjwKEAiAz4XFBRCW87vj6-28uFMSJAAHeGZb7ZCVNXXTWpC2ah0iEKHZUgc1E7QUb7gALj9STQFZmRoCG-Xw_wcB



domingo, 30 de outubro de 2016

1) (PUC-SP) O total de números naturais de três algarismos distintos que existem no nosso sistema de numeração é:
a) 650        b) 615       c) 640       d) 649       e) 648

2) (UFU-MG) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho?
a) 6       b) 18       c) 12       d) 36       e) 48

3) (FGV-SP) Um restaurante oferece no cardápio duas saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
a) 120       b) 144       c) 14       d) 60       e) 12

4) (UFR-PE) Qual o número de placas de carros que poderiam ser registradas (cada uma contendo apenas três letras) fazendo uso das letras A, B, C, D?
a) 34       b) 72       c) 96       d) 64       e) 102

5) (UFRN) A quantidade de números pares de 5 algarismos, sem repetição, que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 é igual a:
a) 720       b) 1.140       c) 2.160       d) 2.280       e) 3.600

6) (USP-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
a) 120       b) 60       c) 30       d) 180       e) 90

1) Quantos números naturais de 4 ou cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9?

2) Para a diretoria de uma empresa, concorrem 4 candidatos à presidência e 6 à vice-presidência. Quantas maneiras distintas podem ocorrer na ocupação desses dois cargos?

3) Para ir de uma cidade A a outra cidade B dispomos de cinco empresas de ônibus, três de aviões e uma de navio. De quantos modos podemos viajar de A até B?

4) Você deve pintar cada quadradinho de amarelo, ou de verde ou de azul.
De quantas maneiras diferentes isso é possível?


DESENHAR 3 QUADRADOS UM DO LADO DO OUTRO

5) Um baralho tem 52 cartas. Se retirarmos duas cartas, uma de cada vez e sem reposição, quantas possibilidades existem?

6) Quantos números de 5 algarismos distintos há em nosso sistema de numeração?

1.3.1  Exercícios (resolver)

1) Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de escolha?

2) Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados?

3) Em relação à questão anterior, responda:
a. Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
b. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados sabendo que pelo menos um deles se repete?

4) Uma prova de Matemática é constituída por 10 questões do tipo “verdadeiro ou falso”. Se um aluno chuta cada uma das questões, qual o número total de maneiras de apresentar o gabarito?

5) Lançando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente, qual o número total de possíveis resultados?

6) Num restaurante há 4 tipos de saladas, 5 tipos de pratos quentes e apenas 2 tipos de sobremesa. Quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?

7) Usando apenas os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, responda:
a. Quantos números de 3 algarismos podemos formar?
b. Quantos números ímpares de 3 algarismos podemos formar?
c. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
d. Quantos números ímpares de 3 algarismos ímpares podemos formar?
e. Quantos números com 3 algarismos ímpares podemos formar?
f. Quantos números com 3 ímpares e distintos podemos formar?

segunda-feira, 24 de outubro de 2016



 1) Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos:
 a) 15 ; 48 ; 36
 resp. 99 / 3 = 33

b) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
respo 45 / 9 = 5

2) João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas valem 2 pontos e as outras duas valem 3 pontos:
Matemática
1ª prova
8,5
2ª prova
9,2
3ª prova
9,6
4ª prova
10,0
 resposta (17 + 18,4 + 28,8 + 30) / 10 = 94,2 / 10 = 9,42

Exercício 1: (PUC-RIO 2009) As notas de uma turma de alunos no teste de matemática foram 10, 10, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 4 e 2. Qual a média da turma?
A) 8,5
B) 8,2
C) 8,0
D) 7,8
E) 7,3

 Exercício 4: (UFPB 2008) Uma atleta participou das três provas de uma determinada competição. Suas notas, nas duas últimas provas, foram, respectivamente, o dobro e o triplo da nota da primeira. Sabendo-se que a média aritmética das três notas foi 28,6 pontos, é correto afirmar que a nota da primeira prova foi:
 A) 12
B) 9,2
 C) 10,5
D) 15
 E) 14,3

 2010) – Ao pesquisar o preço de um determinado produto em 20 postos de vendas, encontraram-se 3 preços diferentes, sendo a distribuição representada em um gráfico.
Considerando esses 20 postos de vendas, o preço médio do produto é igual a


(A) R$ 12,80. (B) R$ 13,20. (C) R$ 13,80. (D) R$ 14,20. (E) R$ 14,80.


2012) – O número de passageiros de uma linha de ônibus, em um determinado horário, foi de 27 passageiros na 2.ª feira, 49 na 3.ª feira, 53 na 4.ª feira, 22 na 5.ª feira e 59 passageiros na 6.ª feira. O número de passageiros da 6.ª feira, a mais do que a média aritmética diária de passageiros nesses cinco dias, foi
(A) 17. (B) 22. (C) 38. (D) 42. (E) 59.


2013) – Em uma seção de uma empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários mensais, segundo os cargos que ocupam, é a seguinte: Sabendo-se que o salário médio desses funcionários é de R$ 1.490,00, pode-se concluir que o salário de cada um dos dois gerentes é de:
 (A) R$ 2.900,00. (B) R$ 4.200,00. (C) R$ 2.100,00. (D) R$ 1.900,00. (E) R$ 3.400,00.


2) Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?

Neste outro caso a solução consiste em multiplicarmos cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos:22.

3) Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32? Se dispusermos de uma calculadora científica, este exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tratam de cinco números: 8

4) Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as cidades A e B. Na ida ele desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, na volta a velocidade média desenvolvida foi de 120 km/h. Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de ida e volta?
MEDIA HARMONICA 96 KM/H

2 SOBRE 1 DIVIDIDO POR CADA UM E SOMAR


1ª Questão com média aritmética no Enem de 2013

As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. 1ª questão com média aritmética – Enem 2013 Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é: a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor. Resolução: Primeiramente vamos realizar o cálculo da média aritmética de todas as 10 notas recebidas pelo professor: MA = 18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 1 + 19 + 14 + 16 + 12 10 MA = 140 10 MA = 14 Se descartarmos a maior e a menor nota, retiraremos as notas de valor 19 e 1. Portanto, o cálculo da média aritmética agora será dado por 8 notas:
MA = 18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 14 + 16 + 12 8 MA = 120 8 MA = 15 Podemos então concluir que, retirando as notas mais extremas, a média passou de 14 para 15 pontos, ficando 1,00 ponto maior. Logo, a alternativa correta é a letra b.

2ª Questão com média aritmética no Enem de 2012
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda. 2ª questão com média aritmética – Enem 2012 Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são: a) Balas W e Pizzaria Y. b) Chocolates X e Tecelagem Z. c) Pizzaria Y e Alfinetes V. d) Pizzaria Y e Chocolates X. e) Tecelagem Z e Alfinetes V. Resolução: Para descobrir quais são as microempresas com maior média anual, vamos analisar as médias de cada empresa:
Alfinetes V: MaV = 200 + 220 + 240 3 MaV = 220 Balas W: MaW = 200 + 230 + 200 3 MaW = 210 Chocolates X: MaX = 250 + 210 + 215 3 MaX = 225 Pizzaria Y: MaY = 230 + 230 + 230 3 MaY = 230 Tecelagem Z: MaZ = 160 + 210 + 245 3 MaZ = 205 Através dos cálculos das médias, podemos constatar que as microempresas que apresentam as maiores médias anuais são a Chocolates X e Pizzaria Y, portanto, a alternativa que apresenta a porcentagem correta é a letra d.

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