sexta-feira, 24 de fevereiro de 2017

Parte de DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS.


1.1  Distância entre dois pontos no plano cartesiano
Vamos praticar um pouco:
1-     Marque no seu caderno os pontos A (-1,4) e B (3,4), utilizando a régua determine a distância entre eles. Marque a resposta que você encontrou abaixo.
_________________________

2-   Marque agora os pontos A (-2,4) e B (2,1) utilizando a régua determine a distância entre eles. Marque a resposta que você encontrou abaixo.
_________________________

Como essa distância é calculada?

Verifique que no segundo exemplo, através dos pontos A (-2,4) e B (2,1) podemos formar um Triângulo Retângulo.

Observando o triângulo formado, qual a medida dos catetos? Dica: Cada quadradinho equivale a uma unidade de medida. Então, os catetos medem ________ e _________.

Observe que no eixo das abscissas temos como valores -2 e 2. Logo, a diferença entre eles é:
 ___

Agora, observe que no eixo das ordenadas temos como valores 4 e 1. Logo, a diferença entre eles é:
___
Verifique que através das coordenadas de x e y nos pontos dados, temos a seguinte relação:
-2-2 = -4        4-1 = 3
Agora, utilizando o Teorema de Pitágoras que você já conhece, determine a medida da hipotenusa. Registre seu resultado abaixo.
a² = b² + c²


 Note que o valor encontrado para a hipotenusa é exatamente a distância que você encontrou entre os pontos A e B utilizando a régua.

Desta forma, podemos definir que a distância entre 2 pontos pode ser calculada por:

a² = b² + c²
dAB² =(x2-x1)² +( y2-y1)²

Agora, utilizando a fórmula da distância entre 2 pontos, calcule a distância dos pontos abaixo e após verifique a sua resposta utilizando a régua.
a)      Calcular a distância entre os pontos A (-1,4) e B (1,5).

b)      Calcule a distância do ponto M (-2,5) à origem.

Vamos fazer outro exemplo. A distância do ponto A (x ,3) ao ponto B (1,9) é igual a 9. Calcule o valor de x.

* Dica: Marque o ponto B e identifique que o ponto A deve estar localizado na linha de ordenada 3. Como sabemos que a distância do ponto AB é 9 unidades, utilizando a régua tente identificar o(s) possível(is) valor(es) de x. Após, confirme seu resultado utilizando a fórmula que você acabou de aprender.

            Agora, resolva os exercícios abaixo:
1.      Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, B e C em cada caso:

a) A (3,0), B (0,4) e C (0,0)                                       b) A (1,3), B (1,-2) e C (5,0)  


2.      Classifique cada triângulo ABC em isósceles, equilátero ou escaleno:

a) A (3,3), B (5,5) e C (7,3)                                       b) A (2,3), B (-1,2) e C (-2,3)

c) A (1,8), B (3,4) e C (0,6)                                       d) A (-2,0), B (2,0) e C (0,2 )


AGORA LISTA DE EXERCÍCIOS DO LIVRO DIDÁTICO!!

quinta-feira, 16 de fevereiro de 2017

 
  ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO SÃO RAFAEL
DISCIPLINA: Matemática
TURMA: 3° Ano Ensino Médio Diurno
PROFESSORA: Elisete Salvador Otobelli
2017

MATERIAL POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVO NA APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA ANALÍTICA


GEOMETRIA ANALÍTICA  

                Foi através do filósofo e matemático francês René Descartes, cujo nome em latim é Renatus Cartesius, que surgiu a Geometria Analítica. Fixando as bases de seu trabalho em dois eixos fixos, que se interceptam em um ponto, Descartes escreveu uma obra chamada La Géometrie, na qual introduz a noção de coordenadas.
A Geometria Analítica é a base de grandes campos de estudos matemáticos em dias atuais, mas também é muito utilizada em atividades não explicitamente matemáticas. Ela guia os nossos passos a cada instante das nossas vidas. Em momentos ela é útil aos profissionais da matemática, da física, da engenharia, etc. Em outros ela favorece aqueles que utilizam a matemática ou outras ciências inconscientemente, os leigos dos aspectos técnicos, porém essenciais ao funcionamento do mundo. No dia-a-dia, algumas atividades requerem seu uso mais intenso, outras menos, mas frequentemente a usamos, ainda que sem perceber.
A utilização do método cartesiano contribuiu decisivamente para o progresso das ciências. As representações cartesianas de fenômenos como a variação da temperatura de um doente, a oscilação dos valores das ações na Bolsa, ou ainda como trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo e no moderno Sistema de Posicionamento Global, GPS que, por sua vez, utilizam coordenadas fornecidas por satélites, assim como os veículos terrestres contam com GPS para o traçado de rotas e cálculo de distância, os aviões e embarcações situam-se em suas rotas através de aparelhos de GPS.



                            
Sendo assim, podemos utilizar o sistema de coordenadas para nos localizar, localizar pessoas ou imóveis, tendo por referência um ponto de origem (no qual estamos no momento), os eixos (ruas, avenidas, etc) e um ponto de chegada (local no qual queremos chegar). Saber se deslocar num determinado espaço, mesmo que ele ainda lhe seja desconhecido, nos permite conhecer novos mundos, novos campos de conhecimentos, de conquistas, de descobertas.
A figura abaixo ilustra pontos de uma cidade, aonde podemos identificar, por exemplo: Igreja (D,9) e Cinema (K,5).

A Geometria Analítica, também é muito usada para construir jogos. É o principio da computação gráfica onde projeta simulações para áreas de Engenharia. Também relacionada à aerodinâmica de um carro, a geração de energia elétrica, até em um simples jogo de batalha naval, você visualiza a aplicabilidade do plano cartesiano.



A Geometria Analítica revolucionou as nossas vidas, tornando-as mais práticas, convenientes e esclarecidas. Esta noção evolui para o que hoje conhecemos como PLANO CARTESIANO.
 “A cada ponto, uma localização; a cada localização, um mundo que se revela”.

  1. Plano Cartesiano

O Plano Cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas (x) e o vertical de eixo das ordenadas (y). O Plano Cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir.

Cada ponto do Plano Cartesiano é formado por um par ordenando (x,y), onde x é a abscissa e y é a ordenada. O encontro dos eixos é chamado de Origem e é representado pelo par ordenado (0,0).

PLANO CARTESIANO

Por exemplo, para localizar o ponto A (2,3), vá até o 2 na horizontal (eixo das abscissas) e suba até o 3 na vertical (eixo das ordenadas).

            Dados os pontos A (2,3), B (3,4), C (2,-2), D (-1,2), E (-4,-3), F (2,-4), G (3,0) e H (0,4) represente-os. Para cada um dos pontos, identifique qual o quadrante que o mesmo se encontra.



A (2,3)  _________________________
B (3,4)  _________________________
C (2,-2) _________________________
D (-1,2) _________________________
            E (-4,-3) ________________________
            F (2,-4)  ________________________
            G (3,0)  _________________________
            H (0,4)  _________________________



Ø     Se P é um ponto no plano e pertence ao eixo das abscissas, suas coordenadas são (a,0). Na sua “prancha” marque dois exemplos de P e em seguida escreva-os abaixo.
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Ø     Se P é um ponto no plano e pertence ao eixo das ordenadas, suas coordenadas são (0,b). Na sua “prancha” marque dois exemplos de P e em seguida escreva-os abaixo.
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Com base no que você estudou até agora, resolva as atividades propostas abaixo.

1.         Com tanta gente no mundo, tecnologia cada vez mais avançada e o planeta sendo decifrado por cientistas de plantão, diversos mistérios e perguntas não respondidas ainda surgem semanalmente ao redor do globo. Quanto mais se descobre sobre o passado da Terra, mais questões e incógnitas surgem pelo caminho. Um dos mistérios mais explorados tem relação direta com a fama dos tesouros perdidos ou roubados ao longo dos séculos. Onde é que está boa parte das riquezas da antiguidade? Uma coisa é certa: em tempos de incerteza, quer se trate de uma revolução ou de uma guerra, o lugar mais seguro para guardar algo de valor era em uma colina bem alta ou embaixo da terra. O mapa abaixo mostra a localização de um tesouro. Através do plano cartesiano se torna mais fácil a localização do mesmo. Quais são as coordenadas do ponto que indicam onde está escondido o tesouro? E em qual quadrante ele se encontra?




2.      Analise a figura abaixo e responda:






  

a)      A pata tem três filhos, Pete, Piti e Poto. Qual o ponto em que se encontra a Pete?

b)      Tem um morcego voando no museu, informe a coordenada em que o morcego está.

c)      Quantas crianças brincam no terceiro quadrante?

d)      O macaco esta localizado em que quadrante? Quais suas coordenadas?

O plano cartesiano pode ser utilizado como base para uma construção de sistema de GPS. A partir de pontos relacionando à latitude e longitude é possível, por exemplo, encontrar um navio em alto mar, assim como regiões em um mapa. Pensando nisso, analise a mapa abaixo e responda as questões 3, 4 e 5.





 3.      Quais dos estados do mapa estão sendo marcados com um ponto no plano?

a)      AC, PI, DF, RS
b)      AC, PI, RS, AP
c)      AM, AC, PI, RS
d)      RS, PI, MG, AM
e)      SC, BA, RS, AM

4.      Determine as coordenadas dos pontos em destaque:


5.      Relacione os estados com os seus respectivos quadrantes:


6.         A base do jogo batalha naval é constituído a partir do plano cartesiano e a escolha de peças é feita utilizando os pares ordenados, sendo assim quais os pares ordenados formam a maior navegação existente no desenho abaixo?


a)      (A, 5), (B, 4), (C, 3), (D, 2), (E,1)
b)      (A, 4), (B, 4), (C, 4), (D, 4), (E,4)
c)      (A, 5), (B, 5), (C, 5), (D, 5), (E,5)
d)      (A, 3), (B, 3), (C, 3), (D, 3), (E,3)
e)      (F, 6), (F, 7),  (F, 8), (F, 9),  (F,10)






  
7.      Analise a figura abaixo e localize as coordenadas que estão indicando a cidade do Estado:



a)    do Acre
b)   do Mato Grosso do Sul
c)    do Rio Grande do Norte
d)   de Minas Gerais
e)    do Amazonas
f)    do Espirito Santo
g)    de Roraima
h)   do Rio Grande do Sul
i)     do Pará
j)     de Mato Grosso
k)   de Pernambuco
l)     de São Paulo




8. No plano cartesiano da figura, considere que as escalas nos dois eixos coordenados são iguais e que a unidade de medida linear é 1 cm. Nele, está
representada parte de uma linha poligonal que começa no ponto P(0, 3) e, mantendo-se o mesmo padrão, termina em um ponto Q.


Na figura, a linha poligonal é formada por segmentos de reta que são paralelos aos eixos coordenados e cujas extremidades têm coordenadas inteiras não negativas. Sabendo que o comprimento da linha poligonal, do ponto P até o ponto Q, é igual a 94 cm, as coordenadas do ponto Q são:

a)        (25,2)
b)        (28,1)
c)        (32,1)
d)        (33,1)
e)        (34,2)
f)          

9.      Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas:

a)      (65,35)
b)      (53,30)
c)      (45,35)
d)      (50,20)
e)      (50,30)

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