domingo, 30 de outubro de 2016

1) (PUC-SP) O total de números naturais de três algarismos distintos que existem no nosso sistema de numeração é:
a) 650        b) 615       c) 640       d) 649       e) 648

2) (UFU-MG) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho?
a) 6       b) 18       c) 12       d) 36       e) 48

3) (FGV-SP) Um restaurante oferece no cardápio duas saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
a) 120       b) 144       c) 14       d) 60       e) 12

4) (UFR-PE) Qual o número de placas de carros que poderiam ser registradas (cada uma contendo apenas três letras) fazendo uso das letras A, B, C, D?
a) 34       b) 72       c) 96       d) 64       e) 102

5) (UFRN) A quantidade de números pares de 5 algarismos, sem repetição, que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 é igual a:
a) 720       b) 1.140       c) 2.160       d) 2.280       e) 3.600

6) (USP-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
a) 120       b) 60       c) 30       d) 180       e) 90

1) Quantos números naturais de 4 ou cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9?

2) Para a diretoria de uma empresa, concorrem 4 candidatos à presidência e 6 à vice-presidência. Quantas maneiras distintas podem ocorrer na ocupação desses dois cargos?

3) Para ir de uma cidade A a outra cidade B dispomos de cinco empresas de ônibus, três de aviões e uma de navio. De quantos modos podemos viajar de A até B?

4) Você deve pintar cada quadradinho de amarelo, ou de verde ou de azul.
De quantas maneiras diferentes isso é possível?


DESENHAR 3 QUADRADOS UM DO LADO DO OUTRO

5) Um baralho tem 52 cartas. Se retirarmos duas cartas, uma de cada vez e sem reposição, quantas possibilidades existem?

6) Quantos números de 5 algarismos distintos há em nosso sistema de numeração?

1.3.1  Exercícios (resolver)

1) Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de escolha?

2) Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados?

3) Em relação à questão anterior, responda:
a. Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
b. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados sabendo que pelo menos um deles se repete?

4) Uma prova de Matemática é constituída por 10 questões do tipo “verdadeiro ou falso”. Se um aluno chuta cada uma das questões, qual o número total de maneiras de apresentar o gabarito?

5) Lançando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente, qual o número total de possíveis resultados?

6) Num restaurante há 4 tipos de saladas, 5 tipos de pratos quentes e apenas 2 tipos de sobremesa. Quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?

7) Usando apenas os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, responda:
a. Quantos números de 3 algarismos podemos formar?
b. Quantos números ímpares de 3 algarismos podemos formar?
c. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
d. Quantos números ímpares de 3 algarismos ímpares podemos formar?
e. Quantos números com 3 algarismos ímpares podemos formar?
f. Quantos números com 3 ímpares e distintos podemos formar?

segunda-feira, 24 de outubro de 2016



 1) Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos:
 a) 15 ; 48 ; 36
 resp. 99 / 3 = 33

b) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
respo 45 / 9 = 5

2) João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas valem 2 pontos e as outras duas valem 3 pontos:
Matemática
1ª prova
8,5
2ª prova
9,2
3ª prova
9,6
4ª prova
10,0
 resposta (17 + 18,4 + 28,8 + 30) / 10 = 94,2 / 10 = 9,42

Exercício 1: (PUC-RIO 2009) As notas de uma turma de alunos no teste de matemática foram 10, 10, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 4 e 2. Qual a média da turma?
A) 8,5
B) 8,2
C) 8,0
D) 7,8
E) 7,3

 Exercício 4: (UFPB 2008) Uma atleta participou das três provas de uma determinada competição. Suas notas, nas duas últimas provas, foram, respectivamente, o dobro e o triplo da nota da primeira. Sabendo-se que a média aritmética das três notas foi 28,6 pontos, é correto afirmar que a nota da primeira prova foi:
 A) 12
B) 9,2
 C) 10,5
D) 15
 E) 14,3

 2010) – Ao pesquisar o preço de um determinado produto em 20 postos de vendas, encontraram-se 3 preços diferentes, sendo a distribuição representada em um gráfico.
Considerando esses 20 postos de vendas, o preço médio do produto é igual a


(A) R$ 12,80. (B) R$ 13,20. (C) R$ 13,80. (D) R$ 14,20. (E) R$ 14,80.


2012) – O número de passageiros de uma linha de ônibus, em um determinado horário, foi de 27 passageiros na 2.ª feira, 49 na 3.ª feira, 53 na 4.ª feira, 22 na 5.ª feira e 59 passageiros na 6.ª feira. O número de passageiros da 6.ª feira, a mais do que a média aritmética diária de passageiros nesses cinco dias, foi
(A) 17. (B) 22. (C) 38. (D) 42. (E) 59.


2013) – Em uma seção de uma empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários mensais, segundo os cargos que ocupam, é a seguinte: Sabendo-se que o salário médio desses funcionários é de R$ 1.490,00, pode-se concluir que o salário de cada um dos dois gerentes é de:
 (A) R$ 2.900,00. (B) R$ 4.200,00. (C) R$ 2.100,00. (D) R$ 1.900,00. (E) R$ 3.400,00.


2) Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?

Neste outro caso a solução consiste em multiplicarmos cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos:22.

3) Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32? Se dispusermos de uma calculadora científica, este exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tratam de cinco números: 8

4) Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as cidades A e B. Na ida ele desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, na volta a velocidade média desenvolvida foi de 120 km/h. Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de ida e volta?
MEDIA HARMONICA 96 KM/H

2 SOBRE 1 DIVIDIDO POR CADA UM E SOMAR


1ª Questão com média aritmética no Enem de 2013

As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. 1ª questão com média aritmética – Enem 2013 Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é: a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor. Resolução: Primeiramente vamos realizar o cálculo da média aritmética de todas as 10 notas recebidas pelo professor: MA = 18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 1 + 19 + 14 + 16 + 12 10 MA = 140 10 MA = 14 Se descartarmos a maior e a menor nota, retiraremos as notas de valor 19 e 1. Portanto, o cálculo da média aritmética agora será dado por 8 notas:
MA = 18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 14 + 16 + 12 8 MA = 120 8 MA = 15 Podemos então concluir que, retirando as notas mais extremas, a média passou de 14 para 15 pontos, ficando 1,00 ponto maior. Logo, a alternativa correta é a letra b.

2ª Questão com média aritmética no Enem de 2012
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda. 2ª questão com média aritmética – Enem 2012 Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são: a) Balas W e Pizzaria Y. b) Chocolates X e Tecelagem Z. c) Pizzaria Y e Alfinetes V. d) Pizzaria Y e Chocolates X. e) Tecelagem Z e Alfinetes V. Resolução: Para descobrir quais são as microempresas com maior média anual, vamos analisar as médias de cada empresa:
Alfinetes V: MaV = 200 + 220 + 240 3 MaV = 220 Balas W: MaW = 200 + 230 + 200 3 MaW = 210 Chocolates X: MaX = 250 + 210 + 215 3 MaX = 225 Pizzaria Y: MaY = 230 + 230 + 230 3 MaY = 230 Tecelagem Z: MaZ = 160 + 210 + 245 3 MaZ = 205 Através dos cálculos das médias, podemos constatar que as microempresas que apresentam as maiores médias anuais são a Chocolates X e Pizzaria Y, portanto, a alternativa que apresenta a porcentagem correta é a letra d.

2)Suponha que, dos imigrantes que chegaram aos Estados Unidos, 120 mil fossem brasileiros.
Um dos 15 milhões de imigrantes teve sorte grande naquele país: ficou rico. A probabilidade
de esse imigrante não seja brasileiro é de:
0,80%
9,92%
80,00%
99,20%
100%
3) (UNESP) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0,2
e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um deles é
independente da escalação do outro, a probabilidade de os dois jogadores serem escalados é:
0,06
0,14
0,24
0,56
0,72
4)As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são,
respectivamente, ½ , 2/5 e 5/6.
Se cada um bater um único pênalti , a probabilidade de todos errarem é igual a:
3%
5%
17%
20%
25%
5)Dois dados perfeitos e distintos são lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma dos
resultados obtidos seja 3 ou 6 é de:
7/18
1/18
7/36
7/12
4/9
6)Em uma bandeja há dez pastéis dos quais três são de carne, três de queijo e quatro de camarão. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposição, dois pastéis desta bandeja, a probabilidade de os dois pastéis retirados serem de camarão é:
3/25
4/25
2/15
2/15
4/5

domingo, 2 de outubro de 2016

PROBABILIDADE 
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Probabilidade Condicional 
Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes 
Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos
 Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Exercícios: 
1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim: A probabilidade desta bola ser verde é 5/12

2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.
Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por: A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%. 5) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar . Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral. Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula: Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos. O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14: Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/14: A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14.

 1ª Questão com probabilidade no Enem de 2011 
Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação.

2° Questão sobre Probabilidade no Enem de 2011 
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é a) 8%. b) 9%. c) 11%. d) 12%. e) 22%. De acordo com a tabela apresentada no exercício, temos informações a respeito de cinco tipos de público-alvo. O total formado por esses cinco grupos compõe o nosso espaço amostral. Vamos então somar e encontrar o total de pessoas vacinadas: n(Ω) = 42 + 22 + 56 + 30 + 50 n(Ω) = 200 Então o grupo total de vacinados são 200 pessoas. Precisamos agora do número de casos favoráveis. Essa informação é a que mais nos interessa, a quantidade de pessoas portadoras de doenças crônicas que foram vacinadas. De acordo com a tabela, esse valor é de 22 pessoas. Vamos então utilizar a fórmula para o cálculo da probabilidade: p(E) = n(E) n(Ω) p(E) = 22 200 p(E) = 11 100 Fazendo a divisão de 11 por 100, encontramos o valor de 0,11. Multiplicando esse valor por 100, encontramos a porcentagem que procurávamos, 11%. Portanto, a alternativa correta é a letra c. 

2ª Questão com probabilidade no Enem de 2013 Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? a) 1 2 b) 5 8
c) 1 4 d) 5 6 e) 5 14 Assim como havíamos comentado no início, esse é o tipo de questão em que o raciocínio e a interpretação são fundamentais. Se somarmos o número de alunos que falam inglês, os que falam espanhol e os que não falam nenhuma dessas línguas, teremos um total de 1400, o que supera a quantidade de alunos da escola! Isso nos garante então que há alunos que falam inglês e espanhol simultaneamente. Vamos então determinar essas quantidades com exatidão. Se temos 1200 alunos na escola e 300 deles não falam línguas estrangeiras, restam apenas 900 alunos que falam essas línguas. Se somarmos a quantidade de alunos que falam inglês (600) com os que falam espanhol (500), obteremos um total de 1.100. Então, ao fazermos a diferença desse total com a quantidade que fala língua estrangeira, isto é, 1.100 – 900, obteremos 200. Essa é a quantidade de alunos que falam as duas línguas. Portanto, de 600 alunos, apenas 400 falam somente inglês, e de 500 alunos, apenas 300 falam apenas espanhol. Para facilitar o entendimento, podemos organizar essas informações em um diagrama de Venn: Através do Diagrama de Venn, podemos ver a distribuição dos alunos em relação à língua estrangeira falada Através do diagrama de Venn, fica evidente que 400 alunos falam apenas inglês, 300 alunos falam apenas espanhol, 200 alunos falam as duas línguas e 300 alunos não falam nenhuma língua estrangeira. Se vamos escolher um aluno que não fala inglês, nosso espaço amostral será composto por aqueles que falam apenas espanhol ou que não falam nenhuma língua, logo, n(Ω) = 600. O número de casos favoráveis é a quantidade de alunos que falam apenas espanhol, então n(E) = 300. Vamos então calcular a probabilidade: p(E) = n(E) n(Ω) p(E) = 300 600 p(E) = 3 6 p(E) = 1 2 Portanto, a alternativa correta é a letra a.

quinta-feira, 8 de setembro de 2016

CSA CSA CPA CPA = 1, 2, 9, 12, 17 E 20.

CPA CPA CPA CRA = 3 E 27

CSA CSA CSA CSA = 4, 10, 13, 14, 16, 18, 23, 26 E 28.

CSA CSA CSA CRA = 5

CSA CSA CSA CPA = 6,7 , 11, 15, 19 , 21, 24, 25, 30 E 31.

CSA CSA CPA CRA = 8

CPA CPA CPA CPA = 29

CSA CSA CSA CPA = 1, 3, 5, 14, 15, 27 E 30.

CPA CPA CPA CRA = 6 E 20.

CSA CSA CSA CSA = 7, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 21, 22, 24, 25, 26, 31, 32 E 33.

CSA CSA CSA CRA = 8

CSA CSA CPA CPA = 11 E 12.

CSA CPA CPA CRA = 23

CPA CPA CPA CSA = 29

CSA CSA CPA CRA = 1, 4 E 7.

CSA CSA CSA CSA = 3, 6, 8, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 25 E 29.

CSA CSA CSA CPA = 5, 9, 17, 22, 26 E 28.

CPA CPA CPA CSA = 10, 12 E 31.

CSA CSA CSA CRA = 18 E 27.

CPA CPA CPA CRA = 11.

CSA CRA CPA CPA = 30.

CSA CSA CSA CPA = 1, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18 E 22.

CSA CSA CSA CSA = 2, 10, 11, 15, 16, 17, 19, 20 E 23.

CSA CSA CPA CPA =  5, 13, 21 E 24.

CSA CPA CPA CRA = 3

CPA CRA CRA CRA = 25

CSA CSA CSA CSA = 1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 14, 17, 20, 24, 25, 27, 28 E 31.

CSA CSA CPA CPA = 5, 6, 16, 22, 23 E 26.

CSA CSA CSA CPA = 9, 19, 21 E 29.

CSA CSA CPA CRA = 8, 13 E 18.

CRA CRA CRA CRA = 12

CPA CPA CPA CPA = 32

CRA CRA CRA CPA = 30

CPA CPA CPA CRA = 15

quarta-feira, 7 de setembro de 2016

Aula 1 - Análise combinatória

ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO SÃO RAFAEL
AVALIAÇÃO 3º TRIMESTRE
Área do Conhecimento: Matemática e suas tecnologias.
Componente Curricular: Matemática
Professor: Elisete Salvador Otobelli
ASSUNTO 1: ANÁLISE COMBINATÓRIA
Flores da Cunha- RS, 2016.
SUMÁRIO
1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1.1 A Construção de Grupos
1.2 Fatorial de um Número
1.2.1 Exercícios
1.3 Princípio Fundamental da Contagem
1.3.1 Exercícios
1.4 Princípio Aditivo da Contagem
1.4.1 Exercícios
1.5 Exercícios de Fixação
1.6 Permutação Simples
1.6.1 Exercícios
1.7 Arranjo Simples
1.7.1 Exercícios
1.8 Arranjo com Repetição
1.9 Permutação Circular
1.10 Exercícios de Fixação
1.11 Combinação Simples
1.11.1 Exercícios
1.12 Permutação com Repetição
1.13 Exercícios de Fixação
2
BINÔMIO DE NEWTON
2.1 Desenvolvimento (Produtos Notáveis)
2.1.1 Exercícios
2.2 Triângulo de Pascal
2.3 Relação de Stifel
2.1.1 Exercícios
2.4 Binômio de Newton
2.1.1 Exercícios
2.5 Fórmula do Termo Geral
2.1.1 Exercícios
2.6 Exercícios de Fixação
1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
Um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da Análise Combinatória. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
1.1 A Construção de Grupos
A Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção, sob certas circunstâncias, de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com n elementos e os grupos formados com elementos de Z terão k elementos, isto é, k será a taxa do agrupamento, com k ≤ n.
Dois conceitos são fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um número e o Princípio Fundamental da Contagem.
Os três tipos principais de agrupamentos são as Permutações, os Arranjos e as Combinações. Estes agrupamentos podem ser simples, com repetição ou circulares.
1.2 Fatorial de um Número
Nos problemas de contagem é muito comum um tipo de problema em que, para se obter o resultado referente ao total das possibilidades, deve-se multiplicar um determinado número natural pelos seus antecedentes até chegar à unidade.
Para facilitar a obtenção desses resultados, as calculadoras (consideradas científicas) vêm com uma tecla conhecida como fatorial de n, que significa produto do número natural n pelos seus antecedentes até chegar à unidade.
Considere n um número inteiro não negativo. O fatorial de n, indicado por n!, é definido como sendo a seguinte multiplicação:
n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1
A definição acima refere-se a números maiores ou igual a 2, ou seja, n ≥ 2. Se n for igual a zero ou um, define-se:
Exemplos:
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040
0! = 1 e 1! = 1
Quatro pessoas que estão de pé pretendem ocupar quatro cadeiras. Qual o número total de maneiras diferentes de ocupá-las? 4! = 4.3.2.1 = 24
1.2.1 Exercícios
1) Utilizando uma calculadora, verifique se a desigualdade 3100 > 100! é verdadeira ou falsa.
FALSA
2) Se x = 92! E y = 91!, então:
a. Qual a relação entre x e y? X É 92 VEZES MAIOR DO QUE Y.
b. Calcule x/y 92
3) Considere as letras da palavra SOMA:
a. Quantos são os anagramas que podem ser formados com todas as quatro letras? 24
b. Quantos anagramas iniciam-se pela letra A? 6
4) Assinale V ou F, conforme for verdadeira ou falsa, respectivamente, cada afirmação a seguir:
a. (F ) 7! = 7.6.5!
b. (F) 9! = 3! + 6!
c. ( F) 10! / 5! = 2
d. (V ) 6! / 4! = 30
e. (V ) Se n! = 6, então n = 3
5) Encontre um número natural n tal que n! – 12 . (n – 1)! = 0
12
6) Calcule o número de anagramas que podem ser formados pelas letras da palavra ALUNO:
120
7) Simplifique as expressões:
a. 50! / 49! 50
b. n! / (n – 1)! n
c. 100! + 99! / 99! 100! +1
d. (2n)! / (2n – 1)! 2n
1.3 Princípio Fundamental da Contagem
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k1 · k2 · k3 · ... · kn
Exemplos:
Imagine que dispomos de uma moeda e um dado. Lançando simultaneamente o dado e a moeda, quantos são os possíveis resultados? 6 x 2 = 12
Uma senha eletrônica é constituída de uma vogal, um algarismo escolhido entre 5, 7 e 9 e uma consoante escolhida entre R e T. Qual o número de senhas que podem ser formadas?
5 x 3 = 15
1.3.1 Exercícios (resolver)
1) Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de escolha?
2) Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados?
3) Em relação à questão anterior, responda:
a. Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
b. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados sabendo que pelo menos um deles se repete?
4) Uma prova de Matemática é constituída por 10 questões do tipo “verdadeiro ou falso”. Se um aluno chuta cada uma das questões, qual o número total de maneiras de apresentar o gabarito?
5) Lançando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente, qual o número total de possíveis resultados?
6) Num restaurante há 4 tipos de saladas, 5 tipos de pratos quentes e apenas 2 tipos de sobremesa. Quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?
7) Usando apenas os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, responda:
a. Quantos números de 3 algarismos podemos formar?
b. Quantos números ímpares de 3 algarismos podemos formar?
c. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
d. Quantos números ímpares de 3 algarismos ímpares podemos formar?
e. Quantos números com 3 algarismos ímpares podemos formar?


f. Quantos números com 3 ímpares e distintos podemos formar?

quarta-feira, 13 de julho de 2016

1) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita.
Associe a 2ª  coluna com a 1ª coluna.


A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia de cima para baixo, é:
a) I, IV, II, V e III
b) I, V, III, IV e II
c) II, III, V, I e IV
d) III, II, IV, I e V
e) IV, II, V, I e III

2)     Dada a equação de uma Elipse a seguir 25x² + 16y² + 288y + 896 = 0

As medidas dos seus eixos Maior e Menor são, respectivamente:


a) 25 e 16

b) 896 e 288
c) 10 e 8
d) 20 e 16
e) n.d.r.a

3)    Dada a equação a seguir


O centro da Elipse determinada pelos pontos (x, y) descritas pela equação é:


a) (3, 9)

b) (2, 4)
c) (25, 9)
d) (-9, 2)
e) (2, -9)

4) Com base no gráfico de uma elipse a seguir:



Uma equação que descreve os pontos (x, y) de seu gráfico pode ser:


(A) 9x² + 25y²= 125

(B) 9x² + 25y² = 25
(C) 16x² + y² = 1
(D) 25x² + 9y² = 225
(E) 9x² + 25y² = 225

5) Qual das equações abaixo representa uma circunferência?
a) 2x2 + y2 – 3x + 4y – 1 = 0
b) x2 + y2 – 2xy + 4x – 6y – 1 = 0
c) x2 + y2 – 2x – 2y + 5 = 0
d) x2 – y2 – 4x – 2y – 1 = 0
e) nda.

6) Classifique as seguintes afirmativas em Verdadeiro ou Falso:
 I. (  ) O ponto (1, -3) pertence a circunferência (x - 3)2 +(y + 4)2 = 5.
II. (  ) A circunferência de equação x 2 +y 2 -16x+14y+109 = 0 possui centro C(8, -7) e raio
R = 2.
III. (  ) O diâmetro da circunferência x 2 +y 2 -16x-4y-13 = 0 é 18.



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