quarta-feira, 7 de setembro de 2016

Revisão da Matemática básica

Aula 1 - Análise combinatória

ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO SÃO RAFAEL
AVALIAÇÃO 3º TRIMESTRE
Área do Conhecimento: Matemática e suas tecnologias.
Componente Curricular: Matemática
Professor: Elisete Salvador Otobelli
ASSUNTO 1: ANÁLISE COMBINATÓRIA
Flores da Cunha- RS, 2016.
SUMÁRIO
1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1.1 A Construção de Grupos
1.2 Fatorial de um Número
1.2.1 Exercícios
1.3 Princípio Fundamental da Contagem
1.3.1 Exercícios
1.4 Princípio Aditivo da Contagem
1.4.1 Exercícios
1.5 Exercícios de Fixação
1.6 Permutação Simples
1.6.1 Exercícios
1.7 Arranjo Simples
1.7.1 Exercícios
1.8 Arranjo com Repetição
1.9 Permutação Circular
1.10 Exercícios de Fixação
1.11 Combinação Simples
1.11.1 Exercícios
1.12 Permutação com Repetição
1.13 Exercícios de Fixação
2
BINÔMIO DE NEWTON
2.1 Desenvolvimento (Produtos Notáveis)
2.1.1 Exercícios
2.2 Triângulo de Pascal
2.3 Relação de Stifel
2.1.1 Exercícios
2.4 Binômio de Newton
2.1.1 Exercícios
2.5 Fórmula do Termo Geral
2.1.1 Exercícios
2.6 Exercícios de Fixação
1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
Um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da Análise Combinatória. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
1.1 A Construção de Grupos
A Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção, sob certas circunstâncias, de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com n elementos e os grupos formados com elementos de Z terão k elementos, isto é, k será a taxa do agrupamento, com k ≤ n.
Dois conceitos são fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um número e o Princípio Fundamental da Contagem.
Os três tipos principais de agrupamentos são as Permutações, os Arranjos e as Combinações. Estes agrupamentos podem ser simples, com repetição ou circulares.
1.2 Fatorial de um Número
Nos problemas de contagem é muito comum um tipo de problema em que, para se obter o resultado referente ao total das possibilidades, deve-se multiplicar um determinado número natural pelos seus antecedentes até chegar à unidade.
Para facilitar a obtenção desses resultados, as calculadoras (consideradas científicas) vêm com uma tecla conhecida como fatorial de n, que significa produto do número natural n pelos seus antecedentes até chegar à unidade.
Considere n um número inteiro não negativo. O fatorial de n, indicado por n!, é definido como sendo a seguinte multiplicação:
n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1
A definição acima refere-se a números maiores ou igual a 2, ou seja, n ≥ 2. Se n for igual a zero ou um, define-se:
Exemplos:
→ 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040
→ 0! = 1 e 1! = 1
→ Quatro pessoas que estão de pé pretendem ocupar quatro cadeiras. Qual o número total de maneiras diferentes de ocupá-las? 4! = 4.3.2.1 = 24
1.2.1 Exercícios
1) Utilizando uma calculadora, verifique se a desigualdade 3100 > 100! é verdadeira ou falsa.
FALSA
2) Se x = 92! E y = 91!, então:
a. Qual a relação entre x e y? X É 92 VEZES MAIOR DO QUE Y.
b. Calcule x/y 92
3) Considere as letras da palavra SOMA:
a. Quantos são os anagramas que podem ser formados com todas as quatro letras? 24
b. Quantos anagramas iniciam-se pela letra A? 6
4) Assinale V ou F, conforme for verdadeira ou falsa, respectivamente, cada afirmação a seguir:
a. (F ) 7! = 7.6.5!
b. (F) 9! = 3! + 6!
c. ( F) 10! / 5! = 2
d. (V ) 6! / 4! = 30
e. (V ) Se n! = 6, então n = 3
5) Encontre um número natural n tal que n! – 12 . (n – 1)! = 0
12
6) Calcule o número de anagramas que podem ser formados pelas letras da palavra ALUNO:
120
7) Simplifique as expressões:
a. 50! / 49! 50
b. n! / (n – 1)! n
c. 100! + 99! / 99! 100! +1
d. (2n)! / (2n – 1)! 2n
1.3 Princípio Fundamental da Contagem
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k1 · k2 · k3 · ... · kn
Exemplos:
→ Imagine que dispomos de uma moeda e um dado. Lançando simultaneamente o dado e a moeda, quantos são os possíveis resultados? 6 x 2 = 12
→ Uma senha eletrônica é constituída de uma vogal, um algarismo escolhido entre 5, 7 e 9 e uma consoante escolhida entre R e T. Qual o número de senhas que podem ser formadas?
5 x 3 = 15
1.3.1 Exercícios (resolver)
1) Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de escolha?
2) Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados?
3) Em relação à questão anterior, responda:
a. Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
b. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados sabendo que pelo menos um deles se repete?
4) Uma prova de Matemática é constituída por 10 questões do tipo “verdadeiro ou falso”. Se um aluno chuta cada uma das questões, qual o número total de maneiras de apresentar o gabarito?
5) Lançando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente, qual o número total de possíveis resultados?
6) Num restaurante há 4 tipos de saladas, 5 tipos de pratos quentes e apenas 2 tipos de sobremesa. Quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?
7) Usando apenas os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, responda:
a. Quantos números de 3 algarismos podemos formar?
b. Quantos números ímpares de 3 algarismos podemos formar?
c. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
d. Quantos números ímpares de 3 algarismos ímpares podemos formar?
e. Quantos números com 3 algarismos ímpares podemos formar?


f. Quantos números com 3 ímpares e distintos podemos formar?

 

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