Ah! Essa Matemática ainda me mata...

PROBABILIDADE 

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Probabilidade Condicional 

Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes 

Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

 Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Exercícios: 

1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim: A probabilidade desta bola ser verde é 5/12

2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.

Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por: A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%. 5) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar . Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral. Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula: Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos. O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14: Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/14: A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14.

 1ª Questão com probabilidade no Enem de 2011 

Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação.

2° Questão sobre Probabilidade no Enem de 2011 

Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é a) 8%. b) 9%. c) 11%. d) 12%. e) 22%. De acordo com a tabela apresentada no exercício, temos informações a respeito de cinco tipos de público-alvo. O total formado por esses cinco grupos compõe o nosso espaço amostral. Vamos então somar e encontrar o total de pessoas vacinadas: n(Ω) = 42 + 22 + 56 + 30 + 50 n(Ω) = 200 Então o grupo total de vacinados são 200 pessoas. Precisamos agora do número de casos favoráveis. Essa informação é a que mais nos interessa, a quantidade de pessoas portadoras de doenças crônicas que foram vacinadas. De acordo com a tabela, esse valor é de 22 pessoas. Vamos então utilizar a fórmula para o cálculo da probabilidade: p(E) = n(E) n(Ω) p(E) = 22 200 p(E) = 11 100 Fazendo a divisão de 11 por 100, encontramos o valor de 0,11. Multiplicando esse valor por 100, encontramos a porcentagem que procurávamos, 11%. Portanto, a alternativa correta é a letra c. 

2ª Questão com probabilidade no Enem de 2013 Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? a) 1 2 b) 5 8

c) 1 4 d) 5 6 e) 5 14 Assim como havíamos comentado no início, esse é o tipo de questão em que o raciocínio e a interpretação são fundamentais. Se somarmos o número de alunos que falam inglês, os que falam espanhol e os que não falam nenhuma dessas línguas, teremos um total de 1400, o que supera a quantidade de alunos da escola! Isso nos garante então que há alunos que falam inglês e espanhol simultaneamente. Vamos então determinar essas quantidades com exatidão. Se temos 1200 alunos na escola e 300 deles não falam línguas estrangeiras, restam apenas 900 alunos que falam essas línguas. Se somarmos a quantidade de alunos que falam inglês (600) com os que falam espanhol (500), obteremos um total de 1.100. Então, ao fazermos a diferença desse total com a quantidade que fala língua estrangeira, isto é, 1.100 – 900, obteremos 200. Essa é a quantidade de alunos que falam as duas línguas. Portanto, de 600 alunos, apenas 400 falam somente inglês, e de 500 alunos, apenas 300 falam apenas espanhol. Para facilitar o entendimento, podemos organizar essas informações em um diagrama de Venn: Através do Diagrama de Venn, podemos ver a distribuição dos alunos em relação à língua estrangeira falada Através do diagrama de Venn, fica evidente que 400 alunos falam apenas inglês, 300 alunos falam apenas espanhol, 200 alunos falam as duas línguas e 300 alunos não falam nenhuma língua estrangeira. Se vamos escolher um aluno que não fala inglês, nosso espaço amostral será composto por aqueles que falam apenas espanhol ou que não falam nenhuma língua, logo, n(Ω) = 600. O número de casos favoráveis é a quantidade de alunos que falam apenas espanhol, então n(E) = 300. Vamos então calcular a probabilidade: p(E) = n(E) n(Ω) p(E) = 300 600 p(E) = 3 6 p(E) = 1 2 Portanto, a alternativa correta é a letra a.