quinta-feira, 8 de setembro de 2016
CSA CSA CPA CPA = 1, 2, 9, 12, 17 E 20.
CPA CPA CPA CRA = 3 E 27
CSA CSA CSA CSA = 4, 10, 13, 14, 16, 18, 23, 26 E 28.
CSA CSA CSA CRA = 5
CSA CSA CSA CPA = 6,7 , 11, 15, 19 , 21, 24, 25, 30 E 31.
CSA CSA CPA CRA = 8
CPA CPA CPA CPA = 29
CSA CSA CSA CPA = 1, 3, 5, 14, 15, 27 E 30.
CPA CPA CPA CRA = 6 E 20.
CSA CSA CSA CSA = 7, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 21, 22, 24, 25, 26, 31, 32 E 33.
CSA CSA CSA CRA = 8
CSA CSA CPA CPA = 11 E 12.
CSA CPA CPA CRA = 23
CPA CPA CPA CSA = 29
CSA CSA CPA CRA = 1, 4 E 7.
CSA CSA CSA CSA = 3, 6, 8, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 25 E 29.
CSA CSA CSA CPA = 5, 9, 17, 22, 26 E 28.
CPA CPA CPA CSA = 10, 12 E 31.
CSA CSA CSA CRA = 18 E 27.
CPA CPA CPA CRA = 11.
CSA CRA CPA CPA = 30.
CSA CSA CSA CPA = 1, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18 E 22.
CSA CSA CSA CSA = 2, 10, 11, 15, 16, 17, 19, 20 E 23.
CSA CSA CPA CPA = 5, 13, 21 E 24.
CSA CPA CPA CRA = 3
CPA CRA CRA CRA = 25
CSA CSA CSA CSA = 1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 14, 17, 20, 24, 25, 27, 28 E 31.
CSA CSA CPA CPA = 5, 6, 16, 22, 23 E 26.
CSA CSA CSA CPA = 9, 19, 21 E 29.
CSA CSA CPA CRA = 8, 13 E 18.
CRA CRA CRA CRA = 12
CPA CPA CPA CPA = 32
CRA CRA CRA CPA = 30
CPA CPA CPA CRA = 15
quarta-feira, 7 de setembro de 2016
Aula 1 - Análise combinatória
ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO SÃO
RAFAEL
AVALIAÇÃO 3º TRIMESTRE
Área
do Conhecimento: Matemática e suas tecnologias.
Componente Curricular: Matemática
Professor: Elisete Salvador Otobelli
ASSUNTO
1: ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Flores
da Cunha- RS, 2016.
SUMÁRIO
|
1
|
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
1.1 A Construção de
Grupos
1.2 Fatorial de um
Número
1.2.1 Exercícios
1.3 Princípio
Fundamental da Contagem
1.3.1 Exercícios
1.4 Princípio Aditivo da
Contagem
1.4.1 Exercícios
1.5 Exercícios de
Fixação
1.6 Permutação
Simples
1.6.1 Exercícios
1.7 Arranjo
Simples
1.7.1 Exercícios
1.8 Arranjo com
Repetição
1.9 Permutação
Circular
1.10
Exercícios de Fixação
1.11
Combinação
Simples
1.11.1 Exercícios
1.12
Permutação
com Repetição
1.13
Exercícios de Fixação
|
|
|
2
|
BINÔMIO
DE NEWTON
|
|
|
|
2.1 Desenvolvimento
(Produtos Notáveis)
2.1.1 Exercícios
2.2 Triângulo de
Pascal
2.3 Relação de Stifel
2.1.1
Exercícios
2.4 Binômio de
Newton
2.1.1
Exercícios
2.5 Fórmula do Termo
Geral
2.1.1
Exercícios
2.6 Exercícios de
Fixação
|
|
1. ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Um motivo tão mundano quanto os jogos de
azar é que acabou levando ao desenvolvimento da Análise
Combinatória. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes
nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos
se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana
(1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses
Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa
desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de
elementos de um conjunto, estando esses elementos
agrupados sob certas condições.
1.1 A Construção de
Grupos
A Análise
Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção, sob certas circunstâncias, de grupos diferentes formados por
um número finito de elementos de um conjunto.
Na maior parte das
vezes, tomaremos conjuntos Z com n elementos e os grupos formados
com elementos de Z terão k elementos, isto é, k será a taxa
do agrupamento, com k ≤ n.
Dois conceitos são
fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um
número e o Princípio Fundamental da
Contagem.
Os três tipos
principais de agrupamentos são as Permutações, os Arranjos e as Combinações. Estes agrupamentos podem
ser simples, com repetição ou circulares.
1.2 Fatorial de um
Número
Nos
problemas de contagem é muito comum um tipo de problema em que, para se obter o resultado referente ao total das possibilidades,
deve-se multiplicar um determinado número natural pelos seus antecedentes até
chegar à unidade.
Para
facilitar a obtenção desses resultados, as calculadoras (consideradas
científicas) vêm com uma tecla conhecida como fatorial de n, que significa
produto do número natural n pelos seus antecedentes até chegar à
unidade.
Considere n
um número inteiro não negativo. O fatorial de n, indicado por n!, é definido como sendo a seguinte
multiplicação:
n! = n · (n-1) ·
(n-2) · ... · 3 · 2 · 1
A definição acima
refere-se a números maiores ou igual a 2, ou seja, n ≥
2. Se n for igual a zero ou um,
define-se:
Exemplos:
→ 7! = 7 · 6 · 5 · 4
· 3 · 2 · 1 = 5 040
→ 0! = 1 e 1! = 1
→ Quatro pessoas que
estão de pé pretendem ocupar quatro cadeiras. Qual o número total de maneiras
diferentes de ocupá-las? 4! = 4.3.2.1 =
24
1.2.1 Exercícios
1)
Utilizando uma
calculadora, verifique se a desigualdade 3100 > 100! é verdadeira ou falsa.
FALSA
2)
Se x = 92! E y =
91!, então:
a.
Qual a relação
entre x e y? X É 92
VEZES MAIOR DO QUE Y.
b.
Calcule x/y 92
3)
Considere as letras
da palavra SOMA:
a.
Quantos são os
anagramas que podem ser formados com todas as quatro letras? 24
b.
Quantos anagramas
iniciam-se pela letra A? 6
4)
Assinale V ou F,
conforme for verdadeira ou falsa, respectivamente, cada afirmação a
seguir:
a.
(F ) 7! =
7.6.5!
b.
(F)
9! = 3! + 6!
c.
(
F) 10! / 5! = 2
d.
(V ) 6! /
4! = 30
e.
(V
) Se
n! = 6, então n = 3
5)
Encontre
um número natural n tal que
n! – 12 . (n – 1)! =
0
12
6)
Calcule
o número de anagramas que podem ser formados pelas letras da palavra
ALUNO:
120
7)
Simplifique
as expressões:
a.
50! /
49! 50
b.
n! /
(n – 1)! n
c.
100!
+ 99! / 99! 100!
+1
d.
(2n)!
/ (2n – 1)! 2n
1.3
Princípio Fundamental da
Contagem
Se determinado
acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode
ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de
k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número
total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k1
· k2 · k3 · ... · kn
Exemplos:
→ Imagine que
dispomos de uma moeda e um dado. Lançando simultaneamente o dado e a moeda,
quantos são os possíveis resultados?
6 x 2 = 12
→ Uma senha
eletrônica é constituída de uma vogal, um algarismo escolhido entre 5, 7 e 9 e
uma consoante escolhida entre R e T. Qual o número de senhas que podem ser
formadas?
5 x 3 = 15
1.3.1 Exercícios (resolver)
1) Uma montadora de
automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes.
Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas
opções tem de escolha?
2)
Considere os
algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de três algarismos podem ser
formados?
3)
Em relação à
questão anterior, responda:
a.
Quantos números
naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
b.
Quantos números
naturais de três algarismos podem ser formados sabendo que pelo menos um deles
se repete?
4)
Uma prova de
Matemática é constituída por 10 questões do tipo “verdadeiro ou falso”. Se um
aluno chuta cada uma das questões, qual o número total de maneiras de apresentar
o gabarito?
5)
Lançando uma mesma
moeda 5 vezes consecutivamente, qual o número total de
possíveis resultados?
6)
Num restaurante há
4 tipos de saladas, 5 tipos de pratos quentes e apenas
2 tipos de sobremesa. Quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com
1 salada, 1 prato quente e 1
sobremesa?
7)
Usando apenas os
algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, responda:
a.
Quantos números de
3 algarismos podemos formar?
b.
Quantos números
ímpares de 3 algarismos podemos
formar?
c.
Quantos números de
3 algarismos distintos podemos
formar?
d.
Quantos números
ímpares de 3 algarismos ímpares podemos
formar?
e.
Quantos números com
3 algarismos ímpares podemos
formar?
f.
Quantos números com
3 ímpares e distintos podemos
formar?
;;
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